Média e mediana contam histórias diferentes
Todas as janelas de cinco anos desde 2000, retorno anualizado:
| Série | Média a.a. | Mediana a.a. | Negativas |
|---|---|---|---|
| CDI | 11,40% | 10,71% | 0,00% |
| NASDAQ Composite (US$) | 10,36% | 12,38% | 9,43% |
| S&P 500 TR (US$) | 9,55% | 11,36% | 11,04% |
| Ibovespa | 10,86% | 9,17% | 13,97% |
Na média, o CDI supera os dois índices americanos: por 1,04 ponto o Nasdaq e por 1,85 o S&P. Na mediana, perde para os dois: 1,67 ponto para o Nasdaq e 0,65 para o S&P.
Mesmas janelas, mesmo período, duas leituras opostas. Não há erro em nenhuma das duas: há duas causas independentes, e as duas trabalham contra o CDI.
1. A média do CDI carrega o juro do começo do período
As janelas que começam entre 2000 e 2004 renderam, em média, 17,08% ao ano. As que começam de 2005 em diante renderam 9,68%.
São 1.258 janelas contra 4.160 — menos de um quarto da amostra, num patamar de juro que não voltou. E basta para mover a média do conjunto inteiro: descartando as janelas iniciadas antes de 2005, a média do CDI cai de 11,40% para 9,68% ao ano. A mediana, no mesmo corte, sai de 10,71% para 10,16%.
A média andou 1,72 ponto. A mediana andou 0,55. É essa a diferença entre as duas: a média sente o tamanho de cada observação, a mediana sente apenas a posição.
O mesmo trecho explica por que a média do CDI fica acima da mediana, e ele é a única razão para isso. Apenas 1.691 das 5.418 janelas — 31,21% — rendem acima da média: a distribuição não é simétrica, tem uma ponta direita curta e pesada, e é a ponta que puxa a média. Retirando as janelas de 2000 a 2004, a assimetria desaparece e o sinal se inverte — a média do CDI passa a ficar abaixo da mediana, 9,68% contra 10,16%.
2. Anualizar comprime o lado bom e não comprime o ruim
Duas janelas de cinco anos do Nasdaq Composite em dólar, as duas reais e as duas dentro desta amostra. A que começou em 09/03/2009 rendeu +241,66% no total; a que começou em 24/03/2000 perdeu 59,88%. Anualizadas, viram +27,86% a.a. e −16,70% a.a.
Os 242 pontos de ganho encolheram para 28 — dividiu por quase nove. Os 60 pontos de perda encolheram para 17 — dividiu por três e meio. É a mesma raiz quinta aplicada aos dois lados, e ela achata muito mais o que subiu do que o que caiu.
O efeito não é acidental nem corrigível: é o que a operação faz. Série cujos ganhos vêm concentrados em poucos períodos muito bons perde mais na conversão para taxa anual do que série que sobe pouco e sempre. A média das taxas anualizadas herda essa compressão. A mediana, que só olha a posição e ignora o tamanho dos extremos, não herda.
É por isso que os dois índices americanos aparecem na tabela acima com a mediana acima da média, e o CDI com a média acima da mediana. Os dois efeitos empurram na mesma direção, e a distância entre as duas colunas é maior que a distância entre as séries.
O que sobrevive às duas estatísticas
A coluna da direita.
A proporção de janelas negativas não depende de escolher média ou mediana: é uma contagem. Zero em 5.418 janelas do CDI; 9,43% no Nasdaq, 11,04% no S&P, 13,97% no Ibovespa.
Esse é o ponto do texto, e ele não é sobre o CDI. Quando duas medidas de centro discordam, discutir qual delas é "a certa" não leva a lugar nenhum — as duas descrevem corretamente coisas diferentes. Quem responde é a distribuição inteira.
É por isso que o estudo publica a frequência por faixa de retorno, e não um número por série. A forma da distribuição é a informação; a média é um resumo dela, e resumo perde o que estava nas pontas.
Veja as janelas de cinco anos, série a série
Os números acima descrevem o histórico das séries no período indicado. Retorno passado não é promessa de retorno futuro, e nada aqui constitui recomendação de investimento. Veja os avisos legais.